গুজব যেভাবে ছড়িয়ে যায়: মাথিমেটিক্স এর সাহায্যে বিশ্লেষণ

গুজব : গুজব যে কিভাবে এবং কতটা তাড়াতাড়ি ছড়িয়ে পড়ে , তা সত্যিই  আশ্চর্যজনক  
আমরা মাঝে সাজেই  দেখি, কোনো ঘটনা বা খবর কয়েকজন এর কাছ থেকে কত দ্রুত শহরের সবার কাছে ছড়িয়ে পরে । ব্যাপারটা কি বিস্ময়কর তাই না ?
চলুন দেখি মাথিমেটিক্স এর সাহায্যে কিভাবে এটাকে বিশ্লেষণ করা যায় ।

                                      চিত্র: গুজব যেভাবে ছড়ায় 
ধরাযাক, প্রথম ব্যাক্তিটি সকাল  10 a.m তে  খবরটি জানতে পারলো । সেই ব্যক্তিটি তার ঠিক 15 মিনিট পরে আরো তিন জন কে খবর টি দিলো । এখন এই নতুন তিন জন প্রত্যেকে আরো তিন জনকে খবর টি জানালো । যদি  এই ভাবে খবরটি ছড়িয়ে পড়ে, তাহলে দেখাযাক কত সময় লাগে সমস্ত শহরে খবরটি ছড়িয়ে পড়তে ।
10.00 a.m ------------> 1 জন 
10.15 a.m ------------> 1+3 জন  = 4 জন 
10.30 a.m ------------> 4+(3✕3) জন = 13 জন 
10.45 a.m ------------> 13+(9✕3) জন = 40 জন 
11.00 a.m ------------>  40+(27 ✕3) জন =121জন
সুতরাং দেখা যাচ্ছে মাত্র এক ঘন্টাতে 121 জন জানতে পারলো । এইভাবে চলতে থাকলে দেখা যাবে যে , 12.30 p.m এ  88,843 জন জানতে পারবে । এই পুরো বিষয়টা আসলে নীচের সংখ্যাগুলির যোগফল । 

এই যোগফলটি আসলে কিছু সসীম পদের সমষ্টি এবং গুণোত্তর প্রগতি । সুতরাং তার যোগফল আমরা গুণোত্তর প্রগতির সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করতে পারবো । 

গুণোত্তর প্রগতির সমষ্টির সূত্র :


আমাদের ক্ষেত্রে ,  a = 1 এবং r=3 | 
10.00 a.m তে n =1, যোগফল = 1-3  ⁄  1-3 =1;
10.15 a.m তে n=2, যোগফল =  1-3^2  ⁄  1-3 =4;
10.30 a.m তে  n=3, যোগফল =  1-3^3 ⁄  1-3= 13;
এইভাবে যেকোনো n এর মান বসিয়ে সামষ্ঠি বার করা যাবে । এখন একজন ব্যাক্তি তিনজন এর পরিবর্তে যদি 4 জন , 5 জন বা 10জন কে খবর দেয়, তাহলে খুব সহজেই আমরা মোট সংখ্যাটা বার করতে পারবো ।  
---------------------------------------------------
Question 1:  আগের অঙ্কটিতে  শহরবাসী যদি একসাথে 5 জনকে খবরটি দিতো তাহলে সকাল এগারটাতে কতজন শহরবাসী খবরটি পেতেন ?
Question 2:    আগের অঙ্কটিতে শহরবাসী  অযুগ্মতম  (Odd) 15 মিনিট এ 5 জন  আর  যুগ্মতম (Even) 15 মিনিট এ 10 জন করে খবর দিলে, দুপুর 12.00 a.m   এ কতজন খবরটি পাবে ? [ যেমন 10.15 a.m, 10.45 a.m ... হল অযুগ্মতম  আর 10.30 a.m , 11.00 a.m ,... হল যুগ্মতম ]